Lo cierto es que, dado un objeto o elemento cualquiera y un conjunto, necesariamente una, y solamente una, de dos situaciones puede ocurrir: el objeto pertenece al conjunto o no pertenece a él.
Cuando se trata de conjuntos finitos, y sus elementos se enumeran explícitamente, estas cuestiones se resuelven con facilidad: basta recorrer uno a uno los elementos y verificar si el elemento dado está o no entre ellos.
No ocurre lo mismo, sin embargo, cuando el conjunto tiene un número infinito de elementos, o incluso, cuando los elementos están dados mediante una descripción que los caracteriza, tal como, ''todos los astros del cielo''. En el caso de los conjuntos infinitos el caso por resolver el problema fue largo y tortuoso.
La Paradoja de Russell
Esta paradoja, expuesta hacia 1901 por el matemático y filósofo Bertrand Russell (1872-1970), es una de las más conocidas e importantes, no sólo por la aparente facilidad con la que se le puede formular, sino también por lo que significó para su autor y por lo que lo llevó a reflexionar acerca de la teoría de conjuntos.
La paradoja de Russell surge al considerar al conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos y los que sí lo son. El conjunto de todos los gatos no es un miembro de este conjunto, pues no es un gato sino un conjunto. Pero el conjunto de todas las cosas que no son gatos sí es un miembro de este conjunto por no ser un gato.
¿Qué sucede, entonces, con el conjunto de todos los cojuntos que no se pertenecen a sí mismos? Dicho conjunto, ¿pertenece al conjunto de conjuntos que no son miembros de sí mismos? Si se examina con cuidado se verá que cualquiera que sea la respuesta que se dé a esta interrogante, surge una contradicción.
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| Bertrand Russell |
Russell establece entonces que el universo de los conjuntos está partido en dos partes excluyentes entre sí. En una parte están todos los conjuntos propios que no se pertenecen a sí mismos, y en la otra, los conjuntos impropios, es decir, los conjuntos que se pertenecen a sí mismos. Distinguiendo con cuidado entre las dos partes, es posible evitar ésta y otras contradicciones .
