La Lógica y la Teoría de Conjuntos

Cantor define conjunto como una colección determinada de diversos objetos reales o imaginarios, y que se denominan elementos del conjunto. Así, se plantea el problema de cómo se pueden determinar rigurosamente cuáles son los elementos de una colección particular, y cuales no. Concretamente, dado un elemento específico, ¿cómo se puede saber si pertenece o no al conjunto?

Lo cierto es que, dado un objeto o elemento cualquiera y un conjunto, necesariamente una, y solamente una, de dos situaciones puede ocurrir: el objeto pertenece al conjunto o no pertenece a él.

Cuando se trata de conjuntos finitos, y sus elementos se enumeran explícitamente, estas cuestiones se resuelven con facilidad: basta recorrer uno a uno los elementos y verificar si el elemento dado está o no entre ellos.

No ocurre lo mismo, sin embargo, cuando el conjunto tiene un número infinito de elementos, o incluso, cuando los elementos están dados mediante una descripción que los caracteriza, tal como, ''todos los astros del cielo''. En el caso de los conjuntos infinitos el caso por resolver el problema fue largo y tortuoso.

La Paradoja de Russell

Esta paradoja, expuesta hacia 1901 por el matemático y filósofo Bertrand Russell (1872-1970), es una de las más conocidas e importantes, no sólo por la aparente facilidad con la que se le puede formular, sino también por lo que significó para su autor y por lo que lo llevó a reflexionar acerca de la teoría de conjuntos.

La paradoja de Russell surge al considerar al conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos y los que sí lo son. El conjunto de todos los gatos no es un miembro de este conjunto, pues no es un gato sino un conjunto. Pero el conjunto de todas las cosas que no son gatos sí es un miembro de este conjunto por no ser un gato.

¿Qué sucede, entonces, con el conjunto de todos los cojuntos que no se pertenecen a sí mismos? Dicho conjunto, ¿pertenece al conjunto de conjuntos que no son miembros de sí mismos? Si se examina con cuidado se verá que cualquiera que sea la respuesta que se dé a esta interrogante, surge una contradicción.

Bertrand Russell

Russell establece entonces que el universo de los conjuntos está partido en dos partes excluyentes entre sí. En una parte están todos los conjuntos propios que no se pertenecen a sí mismos, y en la otra, los conjuntos impropios, es decir, los conjuntos que se pertenecen a sí mismos. Distinguiendo con cuidado entre las dos partes, es posible evitar ésta y otras contradicciones .

Cálculo Proposicional y Teoría de Conjuntos

Para evitar las contradicciones que surgen al tratar con conjuntos que se pertenecen a sí mismos, se asumirá en lo que sigue la existencia de un conjunto U, llamado conjunto universal o referencial, que actúa como garante de que se está trabajando con conjuntos propios que no se pertencen a sí mismos. Cualquiera que sea el conjunto con el cual se está trabajando, sus elementos son también elementos de U.

Con el mismo ánimo de evitar contradicciones, es necesario proceder con cuidado y sólo tomar como válidas aquellas afirmaciones que son, sin ninguna ambigüedad y sin ninguna otra posibilidad, verdaderas o falsas. Las afirmaciones de este tipo se conocen como proposiciones.

Cuando una proposición es verdadera se dice que su valor de verdad es verdadero (V). En el caso contrario, se dice que es falso (F).

El cálculo proposicional hace uso de los siguientes elementos:

• Conectivos Lógicos. Los conectivos son los signos: ∨, ∧, ⇒, ⊻, ⇔ que se leen respectivamente como o, y, implica, o exclusiva, y equivale. Su función es conectar entre sí un número finito de proposiciones.

•     Signos de Puntuación. Los signos de puntuación son los paréntesis, (. . .), que sirven para asociar y para separar proposiciones.

•     Símbolos Proposicionales. Los símbolos proposicionales son las letras minúsculas a, b, p, q, r,..., etc. y se usan para representar proposiciones.

   

Clases de Proposiciones

Existen las siguientes clases de proposiciones:

•     Proposiciones Simples. Son aquellas proposiciones en las que no figura conectivo alguno.

    En la teoría de cojuntos, z ∈ A, es una proposición simple que hace uso del símbolo relacional ∈ que se lee pertenece. En otras palabras, ''el elemento z pertenece al conjunto A".

    

    Igualmente, A = B es una proposición simple en la que aparece el símbolo relacional =, que se lee igual.

•     Proposiciones Compuestas. Son aquellas proposiciones en las que figuran uno o más conectivos.

    La proposición p ⇒ (q ∧ r), es decir, "p implica a q y a r " es una proposición compuesta.

Negación de una Proposición

Si p es una proposición, ¬p también lo es. Esta proposición se llama la negación de p y se lee ''no p''. Estas dos proposiciones tienen valores de verdad distintos, así que si p es verdadera, ¬p es necesariamente falsa, y si p es falsa, entonces ¬p es verdadera.

Por ejemplo, si p es la proposición de la teoría de conjuntos x ∈ A, es decir, ''el elemento x pertenece al conjunto A'', entonces ¬p es la proposición x ∉ A, es decir, ''el elemento x no pertenece al conjunto A''.

En la teoría de conjuntos, la proposición x ∈ A se puede representar mediante un gráfico llamado diagrama de Venn, que se muestra en la siguiente figura:

x pertenece a A

Un diagrama semejante puede utilizarse para representar la proposición opuesta, es decir, x ∉ A, que se muestra en la siguiente figura:

x no pertenece a A

En estos diagramas puede observarse cómo el conjunto referencial U está compuesto por aquellos elementos x para los cuales la proposición x ∈ A es verdadera, y aquellos para los cuales es falsa. Al conjunto de todas las x tales que x ∉ A se le conoce como ''complemento de A'', y se escribe A'.

Como se verá más adelante, cualquier resultado del cálculo proposicional puede traducirse en un resultado de la teoría de conjuntos.

La Doble Negación

Se sabe que si p es una proposición, ¬p también lo es. Es posible formar la proposición ¬(¬p), es decir, la negación de la negación, o doble negación.

El equivalente de la doble negación en la teoría de conjuntos es ''el complemento del complemento''. Y así como, si p es verdadero entonces ¬(¬p) también lo es, en la teoría de conjuntos se cumple que (A')' = A, es decir, el complemento del complemento de un conjunto dado, es el mismo conjunto.

El Conjunto Lógico ∨ y la Unión de Conjuntos

Dadas dos proposiciones p y q, la proposición p ∨ q se lee ''p o q''. Esta proposición es verdadera cuando una de las dos proposiciones simples que la componen, p o q, es verdadera, o cuando ambas lo son. Si las dos proposiciones son falsas entonces también lo es la proposición p ∨ q.

Por otro lado, supóngase que se tienen dos conjuntos, A y B, y que se forma un nuevo conjunto tomando todos los elementos que pertenecen al uno o al otro. A este conjunto se le conoce como la unión de A y B y se escribe A⋃B, haciendo uso del símbolo ⋃ para la unión de dos conjuntos. Otra forma de representar a este conjunto unión es la siguiente:

A⋃B = { x: x ∈ A o x ∈ B } 

El lado derecho de esta igualdad se lee así: el conjunto de los elementos x tales que x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B. Esta es la forma habitual de representar conjuntos cuando no se puede, o no se quiere, enumerar uno por uno sus elementos.

La unión de dos conjuntos es equivalente a unir dos proposiciones mediante el conectivo lógico ∨. En efecto, si p es la proposición x ∈ A y q es la proposición x ∈ B, entonces la proposición p ∨ q es justamente la proposición A⋃B.

Dicha unión se representa en un diagrama de Venn de la manera que se muestra en la soguiente figura:

Conjunto A⋃B

El rectángulo completo  corresponde al conjunto universal o referencial, mientras que la parte en morado corresponde a la unión de los dos conjuntos.

El Conectivo Lógico ∧ y la Intersección de Conjuntos

Dadas dos proposiciones p y q, la proposición p ∧ q se lee ''p y q''. Esta proposición es verdadera solamente cuando las dos proposiciones que la componen son simultáneamente verdaderas. La proposición es falsa en todos los otros casos.

La relación equivalente a ésta en la teoría de conjuntos, es la intersección. Dados dos conjuntos A y B, se forma el conjunto intersección, escrito A∩B, tomando todos los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Se tiene, por lo tanto, que:

A∩B = { x : x ∈ A y x ∈ B }

El diagrama de Venn que se utiliza para representar la intersección de conjuntos aparece en la siguiente figura:.

Conjunto A∩B

El Conectivo Lógico ⇒ y la Contenencia de Conjuntos

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que ''p implica q'', y se escribe p ⇒ q, si siempre que p sea verdadera entonces q también lo es.

Debe observarse en esta proposición cómo, si se toman dos proposiciones falsas y se conectan por el conectivo lógico de la implicación, la proposición resultante es verdadera (así sus partes no lo sean).

El conectivo lógico de la implicación es equivalente a la contenencia en la teoría de conjuntos: un conjunto A se dice que está contenido en otro conjunto B, y se escribe A⊂B, si todo elemento del conjunto A pertenece también al conjunto B. La expresión A⊂B también se puede escribir B⊃A que se lee ''el conjunto B contiene al conjunto A''. El diagrama de Venn de esta relación entre conjuntos se ilustra en la siguiente figura:

Conjuntos A⊂B 

Obsérvece que si p es la proposición x ∈ A, y q es la proposición x ∈ B, entonces la proposición p ⇒ q es verdadera si, y solamente si,  A⊂B.

El Conectivo Lógico ⊻ y la Diferencia Simétrica de Conjuntos

Dadas dos proposiciones p y q, la proposición p ⊻ q, se lee ''p o q pero no ambas''. Esta proposición es verdadera si, y solamente si, una de las dos proposiciones es verdadera y la otra falsa.

Este conectivo lógico es equivalente a la diferencia simétrica de la teoría de conjuntos. Dados dos conjuntos, A y B, su diferencia simétrica, AΔB, se define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno de los dos conjuntos pero no a ambos. Esto equivale a decir que la diferencia simétrica de dos conjuntos es el conjunos de todos los elementos que se hallan en la unión de los dos conjuntos  sin incluir a aquéllos que pertenezcan a la intersección de los conjuntos. Esto puede escribirse así:

AΔB = { x : x ∈ A⋃B pero x ∉ A∩B }

La siguiente figura muestra el diagrama de Venn de la diferencia simétrica de los conjuntos A y B.

Conjunto AΔB

Obsérvece cómo, si p es la proposición x ∈ A y q es la proposición x ∈ B, entonces la proposición p ⊻ q es verdadera si, y solamente si, x ∈ AΔB.

El Conectivo Lógico ⇔ y la Equivalencia de Conjuntos

Dadas dos proposiciones p y q, se dice que p equivale a q, y se escribe p ⇔ q, si la proposición p implica a la proposición q, y la proposición q implica a la proposición p. Esta relación entre p y q se conoce también como la doble implicación.

En la teoría de conjuntos, la relación equivalente es la igualdad de conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, se dice que estos son iguales si todo elemento de A es también un elemento de B y viceversa, todo elemento de B es también un elemento de A.